In einem kartesischen Koordinatensystem legen die Punkte , und das gleichseitige Dreieck fest.
a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der das Dreieck liegt, in Normalform. (4 BE)
Spiegelt man die Punkte , und am Symmetriezentrum , so erhält man die Punkte , bzw. .
b) Beschreiben Sie die Lage der Ebene, in der die Punkte , und liegen, im Koordinatensystem. Zeigen Sie, dass die Strecke senkrecht auf diese Ebene steht. (3 BE)
c) Begründen Sie, dass das Viereck ein Quadrat mit der Seitenlänge ist. (4 BE)
Der Körper ist ein sogenanntesOktaeder. Er besteht aus zwei Pyramiden mitdem Quadrat als gemeinsamer Grundflächeund den Pyramidenspitzen bzw. .
d) Weisen Sie nach, dass das Oktaederdas Volumen besitzt. (2 BE)
e) Bestimmen Sie die Größe des Winkelszwischen den Seitenflächen und. (4 BE)
f) Alle Eckpunkte des Oktaeders liegen auf einer Kugel. Geben Sie eineGleichung dieser Kugel an. Berechnen Sie den Anteil des Oktaedervolumens am Kugelvolumen. (3 BE)
Lösung anzeigen
Lösung zur Teilaufgabe a)
Zwischenschritt: Gib die Ebene in Parameterform an
, ,
Stelle zwei Richtungsvektoren der Ebene auf.
Schreibe (optional) in der Parameterform.
Umrechnen in Normalenform
Bilde das Vektorprodukt, um den Normalenvektor zu erhalten. Kürze soweit wie möglich.
Setze in die Vektordarstellung der Normalenform ein.
Rechne aus.
Lösung zur Teilaufgabe b)
Lage der Ebene
Hinweis: Du musst zur Beantwortung dieser Frage nicht zwingend die Ebenengleichung aufstellen!
Möglichkeit 1: Über die Koordinaten
, ,
Schau dir die -Koordinaten der drei Punkte an. Sie sind alle identisch, also auf gleicher Höhe! Sie befinden sich alle Einheiten über der -Ebene.
Die Ebene muss somit parallel zur -Ebene mit Abstand sein.
Möglichkeit 2: Über den Normalenvektor
, ,
Bilde zwei Richtungsvektoren aus den drei Punkten.
,
Bilde das Vektorprodukt.
Die - und -Koordinate des Normalenvektors sind 0. Die Ebene erstreckt sich deshalb nicht in -Richtung. Sie ist parallel zur -Ebene im Abstand , da die -Koordinate bei allen drei Punkten lautet.
senkrecht auf der Ebene durch
ist zweimal der Vektor , da der Spiegelpunkt ist.
Also kann man statt du zeigen, dass senkrecht auf der Ebene steht, genauso gut zeigen, dass senkrecht auf der Ebene steht, da sie beide die gleiche Richtung haben.
Stelle auf.
Vergleiche mit dem Normalenverktor der Ebene, denn dieser steht senkrecht auf .
Die Vektoren sind linear abhängig, deshalb steht senkrecht auf .
Lösung zur Teilaufgabe c)
Bestimme und
,
Bilde die Vektoren und .
,
Um zu spiegeln, setze die Vektoren und an den Punkt .
Berechne die Seitenlängen des Quadrats
,
,
Ein Quadrat ist festgelegt durch zwei benachbarte, gleich lange Seiten und einen rechten Winkel zwischen diesen. Verwende und .
Berechne die Längen der Vektoren.
Die Seiten sind gleich lang! Um auszuschließen, dass es sich nur um eine Raute aber nicht um ein Quadrat handelt, berechne den das Skalarprodukt zum Nachweis eines rechten Winkels.
Somit ist ein Quadrat.
Lösung zur Teilaufgabe d)
Bekannt
- ist ein Quadrat mit Seitenlänge .
- ist der Mittelpunkt dieses Quadrats, da er das Spiegelzentrum ist.
- ist die Höhe der Pyramide .
Berechne ihre Grundfläche.
Berechne die Höhe .
Setze in die Formel ein.
Verdopple das Pyramidenvolumen, um das Volumen eines Oktaeders zu erhalten.
Das Volumen des Oktaeders beträgt .
Lösung zur Teilaufgabe e)
Die Dreiecke und liegen in eindeutig festgelegten Ebenen. Berechne den Winkel zwischen diesen beiden Ebenen.
Berechne die Normalenvektoren der Ebenen
Ebene durch aus Teilaufgabe a):
Ebene durch :
, ,
Bilde das Vektorprodukt.
Berechne den Winkel mit
.
Der Winkel beträgt also .
Lösung zur Teilaufgabe f)
Da , und durch Spiegelung an entstanden sind und ein Quadrat ist, ist der Mittelpunkt der Kugel.
Der Radius ist dann die Länge aller Vektoren, die von ausgehen. Nehme zum Beispiel , von dem du bereits weißt, dass er lang ist.
Kugelgleichung
,
Stelle die Kugelgleichung auf.
Kugelvolumen
Setze in die Formel für das Kugelvolumen ein.